$\frac{d}{dx}{\int }_0^x\sin \left(t\right) dt= ?$

বিস্তারিত সমাধান:

এই সমস্যাটি ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্যের প্রথম অংশের (Fundamental Theorem of Calculus Part 1) একটি প্রত্যক্ষ প্রয়োগ।

ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্যের প্রথম অংশ অনুসারে, যদি একটি ফাংশন \(f(t)\) একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে অবিচ্ছিন্ন (continuous) হয় এবং যদি \(F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt\) হয়, যেখানে \(a\) একটি ধ্রুবক, তাহলে \(F'(x) = f(x)\) হবে। সহজ কথায়, একটি ইন্টিগ্রালকে এর উপরের সীমার সাপেক্ষে অন্তরীকরণ (differentiate) করলে ইন্টিগ্র্যান্ড (integrand) ফাংশনটি উপরের সীমার চলক দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়।

প্রদত্ত সমস্যাটি হলো:

\(\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}\sin(t)\,dt\)

এখানে, \(f(t) = \sin(t)\), নিম্ন সীমা \(a = 0\) (একটি ধ্রুবক) এবং উচ্চ সীমা হলো \(x\)।

মৌলিক উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই:

\(\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}\sin(t)\,dt = \sin(x)\)

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো \(\sin(x)\)।